Асимптотические методы в нелинейной механике
Обращение к слушателям. В этом курсе мы научимся строить приближенные решения для определенного класса механических систем. Опуская детали и предельно упрощая, можно сказать, что мы будем искать асимптотические решения, которые представлены в виде ряда и стремятся к точному решению при устремлении некоторого, входящего в них параметра к нулю. В результате применения методов у нас будут получаться аналитические формулы, а не таблицы с числами (из которых потом можно построить графики), как в случае использования численных методов. Почему же при наличии у человечества огромных вычислительных мощностей и продвинутых численных методов асимптотические методы остаются актуальными? Я вижу две основные причины. Во-первых, аналитическая формула позволяет понять как тот или иной параметр системы влияет на решение (на движение системы). Это очень важно для анализа и проектирования систем. Во-вторых, асимптотические решения на порядки снижают требования к вычислительным ресурсам. Это имело большое значение на заре космонавтики, когда вычислительные ресурсы были ограничены, и трудоемкая аналитическая работа по получению приближенного решения позволяла в дальнейшем сократить требования к вычислительным мощностям. В эпоху Big Data вычислительные ресурсы снова становятся узким местом. Мы должны иметь возможность получать огромное количество решений для анализа или обучения ИИ за разумное время. Даже при условии, что одно численное решение считается секунды, серия из миллиона вычислений потребует от нас недель расчетов.
Курс базируется на великолепной книге Никиты Николаевича Моисеева "Асимптотические методы нелинейной механики", которая доступна свободно в интернете.
Лекции
- Лекция 1. Теорема Пуанкаре. Система Ляпунова.
- Лекция 2. Теорема Ляпунова. Условия существования периодических решений.
- Лекция 3. Метод Ляпунова.
- Лекция 4. Система Ляпунова произвольного числа степеней свободы.
- Лекция 5. Метод Пуанкаре для построения автоколебательных режимов квазилинейной системы.
- Лекция 6. Метод Каменкова построения автоколебательных режимов.
- Лекция 7. Метод Пуанкаре в неавтономных квазилинейных системах (резонансы).
- Лекция 8. Метод Малкина для неавтономных систем второго порядка (резонансы).
- Лекция 9. Метод Ван-дер-Поля. Асимптотические методы разделения движений. Метод эквивалентной линеаризации.
- Лекция 10. Метод усреднения. Метод Волосова. Медленное время и адиабатические инварианты.
- Лекция 11. Асимптотические методы усреднения в задачах теории оптимального управления.
- Лекция 12. Метод большого параметра.
Практика
- Практика 1. Приведение системы Ляпунова к каноническому виду.
- Практика 2. Декомпозиция уравнения на систему уравнений в вид ряда x=\epsiloni xi.
- Практика 3. Метод Ляпунова. Уравнение Дюффинга.
- Практика 4. Метод Ляпунова для консервативной системы с двумя степенями свободы.
- Практика 5. Метод Пуанкаре для построения автоколебательных режимов. Уравнение Ван-дер-Поля.
- Практика 6. Метод Каменкова построения автоколебательных режимов. Уравнение Ван-дер-Поля.
- Практика 7. Метод Пуанкаре в неавтономных квазилинейных системах. Решение вдали от резонанса и решение при резонансе
- Практика 8. Метод Малкина.
- Практика 9. Метод Ван-дер-Поля.
- Практика 10. Метод Волосова и адиабатические инварианты.
- Практика 11. Усреднения в задачах теории оптимального управления.
- Практика 12. Вычислительная контрольная работа.
Освоение асимптотических методов немыслимо без решения практических задач, однако, сама громоздкость методов и необходимость выполнения большого числа рутинных математических операций приводят к тому, что классический подход, хорошо зарекомендовавший себя в курсах математического анализа и линейной алгебры, основанный на решении большого количества примеров "руками на листочке", не оправдывает себя. За одно занятие студенты успевают решить 1-2 задачи. Поэтому на практических занятиях мы будем активно использовать программные математические пакеты. Они возьмут на себя рутинные математические операции и позволит нам сосредоточиться на сути методов и алгоритмы решения задач.